矩阵相乘

题目描述

请编程实现矩阵乘法,并考虑当矩阵规模较大时的优化方法。

分析与解法

根据wikipedia上的介绍:两个矩阵的乘法仅当第一个矩阵A的行数和另一个矩阵B的列数相等时才能定义。如A是m×n矩阵,B是n×p矩阵,它们的乘积AB是一个m×p矩阵,它的一个元素其中 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ p。

值得一提的是,矩阵乘法满足结合律和分配率,但并不满足交换律,如下图所示的这个例子,两个矩阵交换相乘后,结果变了:

下面咱们来具体解决这个矩阵相乘的问题。

解法一、暴力解法

其实,通过前面的分析,我们已经很明显的看出,两个具有相同维数的矩阵相乘,其复杂度为O(n^3),参考代码如下:

//矩阵乘法,3个for循环搞定    
void MulMatrix(int** matrixA, int** matrixB, int** matrixC)    
{    
    for(int i = 0; i < 2; ++i)     
    {    
        for(int j = 0; j < 2; ++j)     
        {    
            matrixC[i][j] = 0;    
            for(int k = 0; k < 2; ++k)     
            {    
                matrixC[i][j] += matrixA[i][k] * matrixB[k][j];    
            }    
        }    
    }    
}  

解法二、Strassen算法

在解法一中,我们用了3个for循环搞定矩阵乘法,但当两个矩阵的维度变得很大时,O(n^3)的时间复杂度将会变得很大,于是,我们需要找到一种更优的解法。

一般说来,当数据量一大时,我们往往会把大的数据分割成小的数据,各个分别处理。遵此思路,如果丢给我们一个很大的两个矩阵呢,是否可以考虑分治的方法循序渐进处理各个小矩阵的相乘,因为我们知道一个矩阵是可以分成更多小的矩阵的。

如下图,当给定一个两个二维矩阵A B时:

这两个矩阵A B相乘时,我们发现在相乘的过程中,有8次乘法运算,4次加法运算:

矩阵乘法的复杂度主要就是体现在相乘上,而多一两次的加法并不会让复杂度上升太多。故此,我们思考,是否可以让矩阵乘法的运算过程中乘法的运算次数减少,从而达到降低矩阵乘法的复杂度呢?答案是肯定的。

1969年,德国的一位数学家Strassen证明O(N^3)的解法并不是矩阵乘法的最优算法,他做了一系列工作使得最终的时间复杂度降低到了O(n^2.80)。

他是怎么做到的呢?还是用上文A B两个矩阵相乘的例子,他定义了7个变量:

如此,Strassen算法的流程如下:

  • 两个矩阵A B相乘时,将A, B, C分成相等大小的方块矩阵:

  • 可以看出C是这么得来的:

  • 现在定义7个新矩阵( 读者可以思考下,这7个新矩阵是如何想到的 ):

  • 而最后的结果矩阵C 可以通过组合上述7个新矩阵得到:

表面上看,Strassen算法仅仅比通用矩阵相乘算法好一点,因为通用矩阵相乘算法时间复杂度是 equation ,而Strassen算法复杂度只是 equation 。但随着n的变大,比如当n >> 100时,Strassen算法是比通用矩阵相乘算法变得更有效率。

如下图所示:

根据wikipedia上的介绍,后来,Coppersmith–Winograd 算法把 N* N大小的矩阵乘法的时间复杂度降低到了: equation ,而2010年,Andrew Stothers再度把复杂度降低到了 equation ,一年后的2011年,Virginia Williams把复杂度最终定格为: equation

 
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