本章数组和队列的习题

1、不用除法运算

两个数组a[N],b[N],其中A[N]的各个元素值已知,现给b[i]赋值,b[i] = a[0] a[1] a[2]...*a[N-1]/a[i]; 要求:

  • 1.不准用除法运算
  • 2.除了循环计数值,a[N],b[N]外,不准再用其他任何变量(包括局部变量,全局变量等)
  • 3.满足时间复杂度O(n),空间复杂度O(1)。

提示:题目要求b[i] = a[0] a[1] a[2]... a[N-1]/a[i] ,相当于求:a[0] a[1] a[2] a[3]...a[i-1] a[i+1].. a[N-1],等价于除掉当前元素a[i],其他所有元素(a[i]左边部分,和a[i]右边部分)的积。

记left[i]=∏a[k], (k=1...i-1); right=∏a[k], (k=i+1...n),根据题目描述b[i]=left[i] * right[i], 对于每一个b[i]初始化为1,left[i]和right[i]两部分可以分开两次相乘,即对于循环变量i=1...n, b[i]=left[i];b[n-i]=right[n-i], 循环完成时即可完成计算。

参考代码如下所示:

void Multiplication(int a[], int output[], int length)
{
    int left = 1;
    int right = 1;
    for (int i = 0; i < length; i++)
        output[i] = 1;
    for (int i = 0; i < length; i++)
    {
        output[i] *= left;
        output[length - i - 1] *= right;
        left *= a[i];
        right *= a[length - i - 1];
    }
}

3、找出数组中唯一的重复元素

1-1000放在含有1001个元素的数组中,只有唯一的一个元素值重复,其它均只出现一次。 每个数组元素只能访问一次,设计一个算法,将它找出来;不用辅助存储空间,能否设计一个算法实现?

4、找出唯一出现的数

一个数组里,数都是两两出现的,但是有三个数是唯一出现的,找出这三个数。

5、找出反序的个数

给定一整型数组,若数组中某个下标值大的元素值小于某个下标值比它小的元素值,称这是一个反序。 即:数组a[]; 对于i < j 且 a[i] > a[j],则称这是一个反序。 给定一个数组,要求写一个函数,计算出这个数组里所有反序的个数。

6、

有两个序列A和B,A=(a1,a2,...,ak),B=(b1,b2,...,bk),A和B都按升序排列,对于1<=i,j<=k,求k个最小的(ai+bj),要求算法尽量高效。

8

假设一个大小为100亿个数据的数组,该数组是从小到大排好序的,现在该数组分成若干段,每个段的数据长度小于20「也就是说:题目并没有说每段数据的size 相同,只是说每个段的 size < 20 而已」,然后将每段的数据进行乱序(即:段内数据乱序),形成一个新数组。请写一个算法,将所有数据从小到大进行排序,并说明时间复杂度。

9

20个排序好的数组,每个数组500个数,按照降序排序好的,让找出500个最大的数。

10

O(1)空间内实现矩阵转置。

11

有N个数,组成的字符串,如012345,求出字串和取MOD3==0的子串,如012 12 123 45。

12

从一列数中筛除尽可能少的数使得从左往右看,这些数是从小到大再从大到小的。

提示:双端 LIS 问题,用 DP 的思想可解。

13

有两个序列a,b,大小都为n,序列元素的值是任意整数,无序。要求:通过交换a,b中的元素,使[序列a元素的和]与[序列b元素的和]之间的差最小。

例如:

var a=[100,99,98,1,2, 3];

var b=[1, 2, 3, 4,5,40]。

14、螺旋矩阵

Given a matrix of m x n elements (m rows, n columns), return all elements of the matrix in spiral order。一句话,即为螺旋矩阵问题。

举个例子,给定如下的一个矩阵:

你应该返回:[1,2,3,6,9,8,7,4,5]。如下图所示,遍历顺序为螺旋状:

15

给你10分钟时间,根据上排给出十个数,在其下排填出对应的十个数 要求下排每个数都是先前上排那十个数在下排出现的次数。

上排的十个数如下:

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

举一个例子,

数值: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

分配: 6,2,1,0,0,0,1,0,0,0

0在下排出现了6次,1在下排出现了2次,

2在下排出现了1次,3在下排出现了0次....

以此类推..

16

对于一个整数矩阵,存在一种运算,对矩阵中任意元素加一时,需要其相邻(上下左右),某一个元素也加一,现给出一正数矩阵,判断其是否能够由一个全零矩阵经过上述运算得到。

17

一个整数数组,长度为n,将其分为m份,使各份的和相等,求m的最大值。

比如{3,2,4,3,6} 可以分成

  • {3,2,4,3,6} m=1;
  • {3,6}{2,4,3} m=2
  • {3,3}{2,4}{6} m=3

所以m的最大值为3。

18

求一个数组的最长递减子序列 比如{9,4,3,2,5,4,3,2}的最长递减子序列为{9,5,4,3,2}。

19

如何对n个大小都小于100的整数进行排序,要求时间复杂度O(n),空间复杂度O(1)。

20

输入一个正数n,输出所有和为n连续正数序列。例如输入15,由于1+2+3+4+5=4+5+6=7+8=15,所以输出3个连续序列1-5、4-6和7-8。

21、找出数组中两个只出现一次的数字

一个整型数组里除了两个数字之外,其他的数字都出现了两次。请写程序找出这两个只出现一次的数字。要求时间复杂度是O(n),空间复杂度是O(1)。

22、找出数组中两个只出现一次的数字

题目:一个整型数组里除了两个数字之外,其他的数字都出现了两次。 请写程序找出这两个只出现一次的数字。要求时间复杂度是O(n),空间复杂度是O(1)。

23、把数组排成最小的数

输入一个正整数数组,将它们连接起来排成一个数,输出能排出的所有数字中最小的一个。例如输入数组{32, 321},则输出这两个能排成的最小数字32132。

24、旋转数组中的最小元素

把一个数组最开始的若干个元素搬到数组的末尾,我们称之为数组的旋转。输入一个排好序的数组的一个旋转,输出旋转数组的最小元素。例如数组{3, 4, 5, 1, 2}为{1, 2, 3, 4, 5}的一个旋转,该数组的最小值为1。

提示:从头到尾遍历数组一次,就能找出最小的元素,时间复杂度显然是O(N)。但这个思路没有利用输入数组的特性,请读者继续思考更好的解法。

25

N个鸡蛋放到M个篮子中,篮子不能为空,要满足:对任意不大于N的数量,能用若干个篮子中鸡蛋的和表示。

写出函数,对输入整数N和M,输出所有可能的鸡蛋的放法。

比如对于9个鸡蛋5个篮子 解至少有三组: 1 2 4 1 1 1 2 2 2 2 1 2 3 2 1

26

请把一个整形数组中重复的数字去掉。例如:

1, 2, 0, 2, -1, 999, 3, 999, 88

答案应该是:

1, 2, 0, -1, 999, 3, 88

27

有一台机器,上面有m个储存空间。然后有n个请求,第i个请求计算时需要占 R[i]个空间,储存计算结果则需要占据O[i]个空间(据O[i]个空间(其中O[i]<R[i])。问怎么安排这n个请求的顺序,使得所有请求都能完成。你的算法也应该能够判断出无论如何都不能处理完的情况。

比方说,m=14,n=2,R[1]=10,O[1]=5,R[2]=8,O[2]=6。在这个例子中,我们可以先运行第一个任务,剩余9个单位的空间足够执行第二个任务;但如果先走第二个任务,第一个任务执行时空间就不够了,因为10>14-6。

28

在一维坐标轴上有n个区间段,求重合区间最长的两个区间段。

29

如果用一个循环数组q[0..m-1]表示队列时,该队列只有一个队列头指针front,不设队列尾指针rear,求这个队列中从队列投到队列尾的元素个数(包含队列头、队列尾)。

30

给定一个实数数组,按序排列(从小到大),从数组从找出若干个数,使得这若干个数的和与M最为接近,描述一个算法,并给出算法的复杂度。

有N个正实数(注意是实数,大小升序排列) x1 , x2 ... xN,另有一个实数M。 需要选出若干个x,使这几个x的和与 M 最接近。 请描述实现算法,并指出算法复杂度。

31

有无序的实数列V[N],要求求里面大小相邻的实数的差的最大值,关键是要求线性空间和线性时间。

32

一个数组保存了N个结构,每个结构保存了一个坐标,结构间的坐标都不相同,请问如何找到指定坐标的结构(除了遍历整个数组,是否有更好的办法)?

提示:要么预先排序,二分查找。要么哈希。hash的话,坐标(x,y)你可以当做一个2位数,写一个哈希函数,把(x,y)直接转成“(x,y)”作为key,默认用string比较。或如Edward Lee所说,将坐标(x, y)作为 Hash 中的 key。例如(m, n),通过 (m,n) 和 (n, m) 两次查找看是否在 HashMap 中。也可以在保存时就规定 (x, y) , x < y ,在插入之前做个判断。

33

现在有1千万个随机数,随机数的范围在1到1亿之间。现在要求写出一种算法,将1到1亿之间没有在随机数中的数求出来。

提示:编程珠玑上有此类似的一题,如果有足够的内存的话可以用位图法,即开一个1亿位的bitset,内存为100m/8== 12.5m, 然后如果一个数有出现,对应的bitset上标记为1,最后统计bitset上为0的即可。

34

有N+2个数,N个数出现了偶数次,2个数出现了奇数次(这两个数不相等),问用O(1)的空间复杂度,找出这两个数,不需要知道具体位置,只需要知道这两个值。

提示:xor一次,得到2个奇数次的数之和x。第二步,以x(展开成二进制)中有1的某位(假设第i位为1)作为划分,第二次只xor第i位为1的那些数,得到y。然后x xor y以及y便是那两个数。

35

一个整数数组,有n个整数,如何找其中m个数的和等于另外n-m个数的和?

36

一个数组,里面的数据两两相同,只有两个数据不同,要求找出这两个数据。要求时间复杂度0(N)空间复杂度O(1)。

37

一个环形公路,上面有N个站点,A1, ..., AN,其中Ai和Ai+1之间的距离为Di,AN和A1之间的距离为D0。 高效的求第i和第j个站点之间的距离,空间复杂度不超过O(N)。

38

将一个较大的钱,不超过1000000(10^6)的人民币,兑换成数量不限的100、50、10、5、2、1的组合,请问共有多少种组合呢?

39

对于一个数组{1,2,3}它的子数组有{1,2},{1,3}{2,3},{1,2,3},元素之间可以不是连续的,对于数组{5,9,1,7,2,6,3,8,10,4},升序子序列有多少个?

或者换一种表达为:数组int a[]={5,9,1,7,2,6,3,8,10,4} 。求其所有递增子数组(元素相对位置不变)的个数, 例如:{5,9},{5,7,8,10},{1,2,6,8}。

40

M*M的方格矩阵,其中有一部分为障碍,八个方向均可以走,现假设矩阵上有Q+1节点,从(X0,Y0)出发到其他Q个节点的最短路径。 其中,1<=M<=1000,1<=Q<=100。

41

设子数组A[0:k]和A[k+1:N-1]已排好序(0≤K≤N-1)。试设计一个合并这2个子数组为排好序的数组A[0:N-1]的算法。要求算法在最坏情况下所用的计算时间为O(N),只用到O(1)的辅助空间。

提示:此题来源于在高德纳的计算机程序设计艺术第三卷第五章排序。

42

一个数组[1,2,3,4,6,8,9,4,8,11,18,19,100] 前半部分是是一个递增数组,后面一个还是递增数组,但整个数组不是递增数组,那么怎么最快的找出其中一个数?

43

数组中的数分为两组,让给出一个算法,使得两个组的和的差的绝对值最小,数组中的数的取值范围是0<x<100,元素个数也是大于0, 小于100 。

比如a[]={2,4,5,6,7},得出的两组数{2,4,6}和{5,7},abs(sum(a1)-sum(a2))=0;

比如{2,5,6,10},abs(sum(2,10)-sum(5,6))=1,所以得出的两组数分别为{2,10}和{5,6}。

44

从1....n中随机输出m个不重复的数

45

数组al[0,mid-1] 和 al[mid,num-1],都分别有序。将其merge成有序数组al[0,num-1],要求空间复杂度O(1)。

46、求旋转数组的最小元素

把一个数组最开始的若干个元素搬到数组的末尾,我们称之为数组的旋转。输入一个排好序的数组的一个旋转,输出旋转数组的最小元素。例如数组{3, 4, 5, 1, 2}为{1, 2, 3, 4, 5}的一个旋转,该数组的最小值为1。

47

在一个平面坐标系上,有两个矩形,它们的边分别平行于X和Y轴。 其中,矩形A已知, ax1(左边), ax2(右边), ay1(top的纵坐标), ay2(bottom纵坐标). 矩形B,类似,就是 bx1, bx2, by1, by2。这些值都是整数就OK了。 要求是,如果矩形没有交集,返回-1, 有交集,返回交集的面积。 int area(rect const& a, rect const& b) { ... }

48

一个数组里,数都是两两出现的,但是有三个数是唯一出现的,找出这三个数。

提示:3个数唯一出现,各不相同。由于x与a、b、c都各不相同,因此x^a、x^b、x^c都不等于0。所以无法简单的用异或解决此问题。

49、计算逆序数组对

给定一整型数组,若数组中某个下标值大的元素值小于某个下标值比它小的元素值,称这是一个反序。 即:数组a[]; 对于i < j 且 a[i] > a[j],则称这是一个反序。 给定一个数组,要求写一个函数,计算出这个数组里所有反序的个数。

50

有两个序列A和B,A=(a1,a2,...,ak),B=(b1,b2,...,bk),A和B都按升序排列,对于1<=i,j<=k,求k个最小的(ai+bj),要求算法尽量高效。

51

有20个数组,每个数组里面有500个数组,降序排列,每个数字是32位的unit,求出这10000个数字中最大的500个。

52

100个任务,100个工人每人可做一项任务,每个任务每个人做的的费用为t[100][100],求一个分配任务的方案使得总费用最少。

提示:匈牙利算法。

53

寻找3个数的中位数

提示:可以采用两两比较的思路。

54

给定一数组,输出满足2a=b(a,b代表数组中的数)的数对,要求时间复杂度尽量低。

55

1万个元素的数组,90%的元素都是1到100的数,10%的元素是101--10000的数,如何高效排序。

56

一个有序数组(从小到大排列),数组中的数据有正有负,求这个数组中的最小绝对值。

57

等价于n*n的矩阵,填写0,1,要求每行每列的都有偶数个1 (没有1也是偶数个),问有多少种方法。

58

数组里找到和最接近于0的两个值。

59

N个数组,每个数组中的元素都是递增的顺序,现在要找出这N个数组中的公共元素部分,如何做? 注:不能用额外辅助空间。

60

二重歌德巴赫猜想

所有大于等于6的偶数都可以表示成两个(奇)素数之和。

给定1-10000,找到可以用两个素数之和表示每一个偶数的两个素数,然后输出这两个素数,如果有多对,则只需要输出其中之一对即可。

61

N个整数(数的大小为0-255)的序列,把它们加密为K个整数(数的大小为0-255).再将K个整数顺序随机打乱,使得可以从这乱序的K个整数中解码出原序列。设计加密解密算法,且要求K<=15*N.

如果是:

  • N<=16,要求K<=16*N.
  • N<=16,要求K<=10*N.
  • N<=64,要求K<=15*N.

62

两个无序数组分别叫A和B,长度分别是m和n,求中位数,要求时间复杂度O(m+n),空间复杂度O(1) 。

63

假设一个大小为100亿个数据的数组,该数组是从小到大排好序的,现在该数组分成若干段,每个段的数据长度小于20「也就是说:题目并没有说每段数据的size 相同,只是说每个段的 size < 20 而已」,然后将每段的数据进行乱序(即:段内数据乱序),形成一个新数组。

请写一个算法,将所有数据从小到大进行排序,并说明时间复杂度。

64

20个排序好的数组,每个数组500个数,按照降序排序好的,让找出500个最大的数。

65

请自己用双向链表实现一个队列,队列里节点内存的值为int,要求实现入队,出队和查找指定节点的三个功能。

66

n个数字(0,1,…,n-1)形成一个圆圈,从数字0开始,每次从这个圆圈中删除第m个数字(第一个为当前数字本身,第二个为当前数字的下一个数字)。

当一个数字删除后,从被删除数字的下一个继续删除第m个数字。求出在这个圆圈中剩下的最后一个数字。

67、在从1到n的正数中1出现的次数

输入一个整数n,求从1到n这n个整数的十进制表示中1出现的次数。

例如输入12,从1到12这些整数中包含1 的数字有1,10,11和12,1一共出现了5次。

68

对于给定的整数集合S,求出最大的d,使得a+b+c=d。a,b,c,d互不相同,且都属于S。集合的元素个数小于等于2000个,元素的取值范围在[-2^28,2^28 - 1],假定可用内存空间为100MB,硬盘使用空间无限大,试分析时间和空间复杂度,找出最快的解决方法。

提示:两两相加转为多项式乘法,比如(1 2 4 6) + (2 3 4 5) => (x + x^2 + x^4 + x^6)*(x^2 + x^3 + x^4 + x^5) 。

69

长度为N的数组乱序存放着0带N-1.现在只能进行0与其他数的swap操作,请设计并实现排序,必须通过交换实现排序。

70

输入是两个整数数组,他们任意两个数的和又可以组成一个数组,求这个和中前k个数怎么做?

分析:假设两个整数数组为A和B,各有N个元素,任意两个数的和组成的数组C有N^2个元素。那么可以把这些和看成N个有序数列:

          A[1]+B[1] <= A[1]+B[2] <= A[1]+B[3] <=…

          A[2]+B[1] <= A[2]+B[2] <= A[2]+B[3] <=…

          …

         A[N]+B[1] <= A[N]+B[2] <= A[N]+B[3] <=…

问题转变成,在这N个有序数列里,找到前k小的元素”。

71、求500万以内的所有亲和数

如果两个数a和b,a的所有真因数之和等于b,b的所有真因数之和等于a,则称a,b是一对亲和数。 例如220和284,1184和1210,2620和2924。

72、杨辉三角的变形

    1

 1   1  1

1 2 3 2 1

1 3 6 7 6 3 1

以上三角形的数阵,第一行只有一个数1,以下每行的每个数,是恰好是它上面的数,左上的数和右上数等3个数之和(如果不存在某个数,认为该数就是0)。

求第n行第一个偶数出现的位置。如果没有偶数,则输出-1。例如输入3,则输出2,输入4则输出3。

73、三元组的数量

{5 3 1}和{7 5 3}是2组不同的等差三元组,除了等差的性质之外,还有个奇妙的地方在于:5^2 – 3^2 – 1^2 = 7^2 – 5^2 – 3^2 = N = 15。

{19 15 11}同{7 5 3}这对三元组也存在同样的性质:19^2 – 15^2 – 11^2 = 7^2 – 5^2 – 3^2 = N = 15。 这种成对的三元组还有很多。当N = 15时,有3对,分别是{5 3 1}和{7 5 3},{5 3 1}和{19 15 11},{7 5 3}和{19 15 11}。

现给出一个区间 [a,b]求a <= N <= b 范围内,共有多少对这样的三元组。(1 <= a <= b <= 5*10^6)

例如:a = 1,b = 30,输出:4。(注:共有4对,{5 3 1}和{7 5 3},{5 3 1}和{19 15 11},{7 5 3}和{19 15 11},{34 27 20}和{12 9 6}。

74、格子涂色

有一行方格,共有n个,编号为1-n,现在要用两种颜色(例如蓝色和黄色)给每个方格涂色,每个方格只能涂两种颜色之一,不能不涂。要求最终至少有m个连续的格子被涂成蓝色,问一共有多少种着色方法。例如n = 4, m = 3,有3种涂色的方法,分别为

  • 蓝蓝蓝黄
  • 蓝蓝蓝蓝
  • 黄蓝蓝蓝

75、寻找直方图中面积最大的矩形

给定直方图,每一小块的height由N个非负整数所确定,每一小块的width都为1,请找出直方图中面积最大的矩形。

如下图所示,直方图中每一块的宽度都是1,每一块给定的高度分别是[2,1,5,6,2,3]:

那么上述直方图中,面积最大的矩形便是下图所示的阴影部分的面积,面积= 10单位。

 
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