出现次数超过一半的数字

题目描述

题目:数组中有一个数字出现的次数超过了数组长度的一半,找出这个数字。

分析与解法

一个数组中有很多数,现在我们要找出其中那个出现次数超过总数一半的数字,怎么找呢?大凡当我们碰到某一个杂乱无序的东西时,我们人的内心本质期望是希望把它梳理成有序的。所以,我们得分两种情况来讨论,无序和有序。

解法一

如果 无序 ,那么我们是不是可以先把数组中所有这些数字 先进行排序 (至于排序方法可选取最常用的快速排序)。排完序后,直接遍历,在遍历整个数组的同时统计每个数字的出现次数,然后把那个出现次数超过一半的数字直接输出,题目便解答完成了。总的时间复杂度为O(nlogn + n)。

如果是有序的数组呢 ,或者经过排序把无序的数组变成有序后的数组呢?是否在排完序O(nlogn)后,还需要再遍历一次整个数组?

我们知道,既然是数组的话,那么我们可以根据数组索引支持直接定向到某一个数。我们发现,一个数字在数组中的出现次数超过了一半,那么在已排好序的数组索引的N/2处(从零开始编号),就一定是这个数字。自此,我们只需要对整个数组排完序之后,然后直接输出数组中的第N/2处的数字即可,这个数字即是整个数组中出现次数超过一半的数字,总的时间复杂度由于少了最后一次整个数组的遍历,缩小到O(n*logn)。

然时间复杂度并无本质性的改变,我们需要找到一种更为有效的思路或方法。

解法二

既要缩小总的时间复杂度,那么可以用查找时间复杂度为O(1)的 hash表 ,即以空间换时间。哈希表的键值(Key)为数组中的数字,值(Value)为该数字对应的次数。然后直接遍历整个 hash表 ,找出每一个数字在对应的位置处出现的次数,输出那个出现次数超过一半的数字即可。

解法三

Hash表需要O(n)的空间开销,且要设计hash函数,还有没有更好的办法呢?我们可以试着这么考虑,如果 每次删除两个不同的数 (不管是不是我们要查找的那个出现次数超过一半的数字),那么,在剩下的数中,我们要查找的数(出现次数超过一半)出现的次数仍然超过总数的一半。通过不断重复这个过程,不断排除掉其它的数,最终找到那个出现次数超过一半的数字。这个方法,免去了排序,也避免了空间O(n)的开销,总得说来,时间复杂度只有O(n),空间复杂度为O(1),貌似不失为最佳方法。

举个简单的例子,如数组a[5] = {0, 1, 2, 1, 1};

很显然,若我们要找出数组a中出现次数超过一半的数字,这个数字便是1,若根据上述思路4所述的方法来查找,我们应该怎么做呢?通过一次性遍历整个数组,然后每次删除不相同的两个数字,过程如下简单表示:

0 1 2 1 1 =>2 1 1=>1

最终1即为所找。

但是数组如果是{5, 5, 5, 5, 1},还能运用上述思路么?很明显不能,咱们得另寻良策。

解法四

更进一步,考虑到这个问题本身的特殊性,我们可以在遍历数组的时候保存两个值:一个candidate,用来保存数组中遍历到的某个数字;一个nTimes,表示当前数字的出现次数,其中,nTimes初始化为1。当我们遍历到数组中下一个数字的时候:

  • 如果下一个数字与之前candidate保存的数字相同,则nTimes加1;
  • 如果下一个数字与之前candidate保存的数字不同,则nTimes减1;
  • 每当出现次数nTimes变为0后,用candidate保存下一个数字,并把nTimes重新设为1。 直到遍历完数组中的所有数字为止。

举个例子,假定数组为{0, 1, 2, 1, 1},按照上述思路执行的步骤如下:

  • 1.开始时,candidate保存数字0,nTimes初始化为1;
  • 2.然后遍历到数字1,与数字0不同,则nTimes减1变为0;
  • 3.因为nTimes变为了0,故candidate保存下一个遍历到的数字2,且nTimes被重新设为1;
  • 4.继续遍历到第4个数字1,与之前candidate保存的数字2不同,故nTimes减1变为0;
  • 5.因nTimes再次被变为了0,故我们让candidate保存下一个遍历到的数字1,且nTimes被重新设为1。最后返回的就是最后一次把nTimes设为1的数字1。

思路清楚了,完整的代码如下:

//a代表数组,length代表数组长度
int FindOneNumber(int* a, int length)
{
    int candidate = a[0];
    int nTimes = 1;
    for (int i = 1; i < length; i++)
    {
        if (nTimes == 0)
        {
            candidate = a[i];
            nTimes = 1;
        }
        else
        {
            if (candidate == a[i])
                nTimes++;
            else
                nTimes--;
        }
    }
    return candidate;
}

即针对数组{0, 1, 2, 1, 1},套用上述程序可得:

i=0,candidate=0,nTimes=1;
i=1,a[1] != candidate,nTimes--,=0;
i=2,candidate=2,nTimes=1;
i=3,a[3] != candidate,nTimes--,=0;
i=4,candidate=1,nTimes=1;
如果是0,1,2,1,1,1的话,那么i=5,a[5] == candidate,nTimes++,=2;......

举一反三

加强版水王:找出出现次数刚好是一半的数字

分析:我们知道,水王问题:有N个数,其中有一个数出现超过一半,要求在线性时间求出这个数。那么,我的问题是,加强版水王:有N个数,其中有一个数刚好出现一半次数,要求在线性时间内求出这个数。

因为,很明显,如果是刚好出现一半的话,如此例: 0,1,2,1 :

遍历到0时,candidate为0,times为1
遍历到1时,与candidate不同,times减为0
遍历到2时,times为0,则candidate更新为2,times加1
遍历到1时,与candidate不同,则times减为0;我们需要返回所保存candidate(数字2)的下一个数字,即数字1。
 
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