本章动态规划的习题

1.子序列个数

子序列的定义:对于一个序列a=a[1],a[2],......a[n],则非空序列a'=a[p1],a[p2]......a[pm]为a的一个子序列 其中1<=p1<p2<.....<pm<=n。 例如:4,14,2,3和14,1,2,3都为4,13,14,1,2,3的子序列。

  • 对于给出序列a,有些子序列可能是相同的,这里只算做1个。
  • 要求输出a的不同子序列的数量。
2.数塔取数问题

一个高度为N的由正整数组成的三角形,从上走到下,求经过的数字和的最大值。 每次只能走到下一层相邻的数上,例如从第3层的6向下走,只能走到第4层的2或9上。

5

8 4

3 6 9

7 2 9 5

例子中的最优方案是:5 + 8 + 6 + 9 = 28。

3.最长公共子序列

什么是最长公共子序列呢?好比一个数列 S,如果分别是两个或多个已知数列的子序列,且是所有符合此条件序列中最长的,则S 称为已知序列的最长公共子序列。

举个例子,如:有两条随机序列,如 1 3 4 5 5 ,and 2 4 5 5 7 6,则它们的最长公共子序列便是:4 5 5。

提示:最容易想到的算法是穷举搜索法,但考虑到最长公共子序列问题也有最优子结构性质,可以用动态规划解决。

4.最长递增子序列

给定一个长度为N的数组a0,a1,a2...,an-1,找出一个最长的单调递增子序列(注:递增的意思是对于任意的i<j,都满足ai<aj,此外子序列的意思是不要求连续,顺序不乱即可)。例如:给定一个长度为6的数组A{5, 6, 7, 1, 2, 8},则其最长的单调递增子序列为{5,6,7,8},长度为4。

提示:一种解法是转换为最长公共子序列问题,另外一种解法则是动态规划。当我们考虑动态规划解决时,可以定义dp[i]为以ai为末尾的最长递增子序列的长度,故以ai结尾的递增子序列

  • 要么是只包含ai的子序列
  • 要么是在满足j<i并且aj<ai的以ai为结尾的递增子序列末尾,追加上ai后得到的子序列

如此,便可建立递推关系,在O(N^2)时间内解决这个问题。

5.木块砌墙

用 1×1×1, 1×2×1以及2×1×1的三种木块(横绿竖蓝,且绿蓝长度均为2),

搭建高长宽分别为K × 2^N × 1的墙,不能翻转、旋转(其中,0<=N<=1024,1<=K<=4)

有多少种方案,输出结果

对1000000007取模。

举个例子如给定高度和长度:N=1 K=2,则答案是7,即有7种搭法,如下图所示:

提示:此题很有意思,涉及的知识点也比较多,包括动态规划,快速矩阵幂,状态压缩,排列组合等等都一一考察了个遍。

而且跟一个比较经典的矩阵乘法问题类似:即用1 x 2的多米诺骨牌填满M x N的矩形有多少种方案,M<=5,N<2^31,输出答案mod p的结果

 
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